从1~12中选出7个自然数,要求选出的数中不存在某个自然数是另一个自然数的2倍,那么一共有()种选法。
解:将这12个数按照2倍关系分为(1,2,4,8)、(3,6,12)、(5,10)、(7,9,11)四组。
一、如果从第一组中取出一个数,有4种取法,还需要6个数,必有3,12,7,9,11,再从第三组中挑一个。共有4×2=8种选择;
二、如果从第一组中取2个数,有(1,4)、(1,8)、(2,8)三种取法,还需要5个数,分两种情况:
A. 从第二组中取一个数,还需要4个数,必有7,9,11,再从第三组中挑一个。共有3×3×2=18种选择;
B. 从第二组中取两个数,只能取(3,12),还需要三个数,可以取7,9,11或从第三组选一个,从第四组选两个,有3×1×1+3×1×2×3=21种选择。
综上,所有的选法一共有8+18+21=47种。