2010年小升初数学巧求最大公约数精讲1

2010年小升初数学专项复习-巧求最大公约数1

(1)列举约数法

例如，求24和36的最大公约数。

显然(24，36)=12。

(2)分解质因数法

就是先把要求最大公约数的那几个数分别分解质因数，然后把这几个数公有的质因数相乘，所得的积就是要求的最大公约数。

例如，求12、18和54的最大公约数。

所以(12，18，54)=2×3=6。

(3)除数相除法(短除法)

就是先用要求最大公约数的那几个数的公约数连续去除那几个数，一直除到所得的商只有公约数1为止，再把所有的除数连乘起来，乘得的积就是所求的最大公约数。

例如，求24、60和96的最大公约数。

所以(24、60、96)=2×2×3=12。

(4)应用相除法

就是先用要求最大公约数的那几个数的公约数连续去除那几个数，一直除到商只有公约数1为止。然后用被除数除以商。

例如，求36和54的最大公约数。

(5)辗转相除法，也称欧几里得除法。

就是用大数除以小数，如果能整除，小数就是所求的最大公约数;如果不能整除，再用小数除以第一个余数，如果能整除，第一余数就是所求的最大公约数;如果不能整除，再用第一个余数除以第二个余数，如果能整除，第二个余数就是所求的最大公约数，如果不能整除，再像上面那样继续除下去，直到余数为0为止，最后的那个除数就是所求的最大公约数。如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质数。

例如，求621和851的最大公约数。则(621，851)=23。

(6)辗转相减法

在求几个数的最大公约数时，可从任一大数中减去任意小数的任意倍数，同时作几个减法。

理论根据：

定理1：如果甲、乙二数的差是乙数，那么甲、乙二数的最大公约数就是乙数。

即：如果a-b=b，那么(a，b)=b。(本文字母都是自然数)

证明：∵a-b=b，

∴a=2b，即 b|2b→b|a。

又∵b|b，∴(a，b)=b。

定理2：如果两个数的差不等于零，那么这两个数的最大公约数就是减数与差数的最大公约数。

即：如果a-b=c(a>b)，

那么(a，b)=(b，c)。

可理解为差与小数成倍数关系，差就是所求的最大公约数;如果差与小数不成倍数关系，差与小数的最大公约数就是所求的最大公约数。

∵a-b=c，

因此t是b、c的公约数。

又设(p2，p1-p2)=m(m>1)，则

故(P2，P1-P2)=m不能成立，只能是：(P2，P1-P2)=1。说明t不但是b、c的公约数，而且是最大公约数。即：

(b，c)=t，

∴(a，b)=(b，c)。

例如，429-143=286，

∴(429，143)=(143，286)。

又∵143|286，

∴(143，286)=143。

因此(429，143)=143。

根据上面的两个定理求(a，b)。

设a>b，

①当 b|a时，则(a，b)=b。

②当ba时，则a-b=p1，即(a，b)=(b，P1)。

其中当P1|b时，则(b，P1)=P1。

当P1b时，则b-P1=P2，即(b，P1)=(P1，P2)。……

照此依次减下去，被减数、减数在逐渐减小，差也随着相对减小，最后必能得到一个ppn=0。这时pn-1=pn-2，所以(pn-2，pn-1)=pn-1。由此得出：

(a，b)=(b，p1)=(p1，p2)=(p2，p3)=……=(pn-2，pn-1)=pn-1。

这种方法称辗转相减法。

实例说明：如21和12。21可以看成是3的7倍，12可看成3的4倍;用3的7倍减去3的4倍一定还是3的倍数，得3的3倍，然后用3的4倍减去3的3倍结果是3的1倍。因此(21，12)=3。

应用中贵在灵活。求解过程中，可随时截取判断。

例1 求1105和1547的最大公约数。

1547-1105=422， (1)

1105-422×2=211， (2)

422-221=211， (3)

211-211=0。 (4)

没必要辗转相减到最后，由式子(2)知221与442成倍数关系，则(1105，1547)=221。

例2 求971和 601的最大公约数。

∵971-601=370， (1)

601-370=231， (2)

370-231=139， (3)

231-139=92， (4)

139-92=47， (5)

……

1-1=0，

∴(971，601)=1。

由(5)式可知(92，47)=1，便可断定

(971，601)=1。

例3 求27090、21672、11352和8127的最大公约数。

用这种方法约简分数、判断互质数等。例略。