2010年小升初数学巧求最大公约数精讲2

2010年小升初数学专项复习-巧求最大公约数2

(1)小数缩倍法

就是求两个数的最大公约数时，如果这两个数不成倍数关系，就把小数依次除以2、3、4……，直到除得的商是较大数的约数为止，那个商就是所求的最大约数。

例如，求45和75的最大公约数。

45÷3=15，15|75，则(45，75)=15。

(2)差除法

如果两个数的差能整除较小的数，那么这个差就是这两个数的最大公约数。

已知a-b=c，且c|b(a>b)。

求证(a，b)=c。

证明：由 c|b，设 b=cq。

于是 a=b+c=cq+c=c(q+1)。

在a=c(q+1)和b=cq中，

因为(q+1，q)=1，

所以(a，b)=c。

例如，求91和98的最大公约数。

∵ 98-91=7， 7|91，

∴(91，98)=7。

(3)倍差除法

当出现找出的差不能整除小数时，把小数再扩大几倍，使之略超过大数，用新得的数减去大数的差去除小数。

例4 求112与420的最大公约数。

112×4=448， 448-420=28，

28|112，

则(11，420)=28。

例5 求168与630的最大公约数。

168×4=672， 672-630=42，

42|168，

则(168，630)=42。

能够这样解的依据是什么呢?现证明如下(字母均为自然数)。

如果nb-a=c，c

那么(a，b)=c。

证明：设t是a，b的公约数，则t|a，t|b，

∴nb-a=c，且c

∵t|nb，t|c，

因此，a，b的公约数一定是b、c的公约数。

同理也可证明b、c的公约数一定是a、b的公约数。所以a、b的最大公约数等于b、c的最大公约数。即：

(a，b)=(b，c)。

又∵c|b，

∴(a，b)=(b，c)=c。

或用差的从大到小的因数试除。

例6 求161和115的最大公约数。

161-115=46。

∵46115，

而23|115，

∴(161，115)=23。

例7 求95和152的最大公约数。

∵ 95×2-152=38，

且3895，

但19|95，

∴(95，152)=19。

这种方法，也适用于求三个以上数的最大公约数。

例8 求217，62和93的最大公约数，

因为217-62-93=62，

且31|62、31|93，

所以(217，62，93)=31。

例9求 418、494和 589的最大公约数。

因为494-418=76，76418，

418-(76×5)=38，38|76，

则(418，494)=38。

而589-(38×15)=19，19|38，

所以(418，494，589)=19。

例10 判断255和182是否互质。

255-182=73，73182，

182-(73×2)=36，3673，

而73-(36×2)=1，

所以(255，182)=1，即为互质数。

4862-2618=2244，

2618-2244=374，374|2244，