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如何解鸡鼠同笼问题?

2011-09-01 21:35:27     标签:小升初教育新闻

一、鸡兔同笼问题

1 笼中有若干只鸡和兔,它们共有50个头和140只脚,问鸡兔各有多少只?

解法1 假设法

假设一个未知数是已知的,比如假定50个头全是兔,则共有脚(4×50=200(只),这与题中已知140只不符,多出(200-140=60(只),多的原因是鸡当兔后每只鸡多算了2只脚,所以鸡的只数是(60÷2=30(只),则兔的只数为(50-30=)20(只)。

这种解法,思路清晰,但较复杂,不便操作。能不能形象地画个图呢?让我们试试。

解法2 图形法

从图中看ACDF的面积=4×50=200(只脚),比实际多出GHEF的面积=200-140=60(只脚),AB=GH=60÷2=30(只鸡),BC=AC-AB=50-30=20(只兔)

解法2比解法1高级,算理是一样的。这里答案是图上算出的,显然这两种解法都要用纸和笔。不用纸和笔肯定是用口诀或易记的公式,这是老公公的传家宝。

解法3 公式法

老公公讲:只要用哨子一吹,并喊一声口令:“全体肃立”。这时每只鸡呈金鸡独立之状,每只兔呈玉兔拜月状,着地的脚数之和有(140÷2=)70(只),其中鸡的头数与脚数相等,由于每只兔的脚比头数多1,因此兔的头数为(7050=)20(个),即兔有20只,则鸡有(5020=)30(只)。这个故事实际上老公公用了如下的公式。

脚数和÷2-头数和=兔子数。

小孙子们听了兴趣为之大增,纷纷叫老公公再出几道题。老公公又出了

130个头,80只脚……。(兔10,鸡20)。

2100只脚,40个头……。(兔10,鸡30)。

380个头,200只脚……。(兔20,鸡60

小孙子们个个都愉快地答出来了。

这个公式简洁好用,它是祖代传下来的还是老公公想出来的呢?我们中华文化博大精深,这两种可能性都是有的。这个公式是碰巧做对还是符合算理的 呢?这是十分重要的。数学家高斯说过:“数学中许多方法与定理是靠归纳发现的,证明只是补行的手续而已。”现在我们就来补行这个手续。

2鸡头=鸡脚。

4兔头=兔脚。

得:兔脚+鸡脚=2鸡头+4兔头

=2(鸡头+2兔头)。

这就证明了老公公归纳的公式。

说到鸡兔同笼问题,常常大家精神就紧张起来,以为是难题来了。现在掌握了规律其实不难,所以凡事都应去摸索规律,照规律办事。

鸡兔同笼问题在民间是当故事讲的,有没有实际价值呢?我们再来看下面的问题。

二、邮票问题

2 3角与5角的邮票共24张,总值4.6元,问两种邮票各买了几张?

解这道题当然可以用假设法和图形法,但用什么样的公式呢?美国数学教育家C?波利亚说:“……不论初等数学、高等数学中的发现……特别是不能没有类比。”用类比很容易发现这个公式是:邮

3角邮票为A1张,价值A2角;

5角邮票为B1张,价值B2角。

说明数量关系与鸡兔同笼问题相一致。

3A1=A25B1=B2

得:A2B23A1+5B1

这就与例1的公式相类似,很容易将这个公式翻译成语言陈述,大家试

2412=)12(张)。

如果你认为这个公式不太好记,就不妨用图来解。

24×596)÷2=12(张、3角)

24-1212

所以解题方法的选用常常是根据具体情况而定的。

再试试

16角与8角的邮票共18张,总价12.4元,问两种邮票各几张?(108

23角与8角的邮票共100张,总价50元,问两种邮票各几张?(6040

三、植树问题

3 一次植树活动,规定大树每人种2棵,小树每人种4棵,全班50人种树140棵,问种这两种树的各有多少人?

这道题可用例1的公式很快解得种大树的有30人,种小树的有20人。

四、运输(工作)问题

4 有小卡车50辆,大卡车每辆运4吨,小卡车每辆运2吨,共运140吨化肥,问大小卡车各几辆?

难道不是题目看完答案就出来了吗?

五、农药问题

5 甲种农药每千克兑水20千克,乙种农药每千克兑水40千克,现为了提高药效,根据农科所意见,甲乙两种农药混合使用,已知两种农药共50千克,要配药水140千克,问甲、乙两种农药各需多少千克?

用公式解很简单(3020),如果将这个公式交给农民,那么他们配起农药来就既方便又正确,你能想出这个公式是什么吗?

还会遇到许多许多的问题,它们的数量关系(应用题的本质)与鸡兔同笼问题相一致,都可以用鸡兔同笼问题的三种方法来解,这些问题我们将它们统称为鸡兔同笼问题。

相传大禹治水到黄河,发现一只神龟,背上驮了一张图叫河图(洛书)。(左图),用阿拉伯数字表示就是右图,图中三条竖线、三条横线、二条对角线共八条线上三个数的和都是15, 这样的图是怎样造出来的呢?其法一时失传了,于是有人用它来占卜、相风水,进入迷信状态。后来数学家发现其原理是二进制,说明二进制是中国人最先发明的, 近代根据二进制发明了计算机,所以有些基础科学的研究成果一时看起来无多大用途,以后渐渐会发现有大用途,鸡兔同笼问题不也是这样吗?因此我们一定要重视基础科学的学习和研究。

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