在数学中,经常做的一件事就是求值,求值问题中有一类是在一定条件下求最大值或最小值,这类问题有很强的实际应用价值。最大值最小值问题五花八门,涉及的知识很广泛。
例1:一个长方形周长为20厘米,要使它的面积最大,这个长方形的长、宽各是多少厘米?
分析与解答:
分析:长方形的面积=长×宽,要使长方形的面积最大,即长、宽的乘积最大。长与宽的和是其周长的一半,即10厘米。注意,两个数和一定时,其差愈小,则其积愈大。于是,当长方形的长与宽相等时,即该长方形边长是5厘米的正方形时,面积最大。
解答:长和宽的和=20÷2=10(厘米)
长、宽分别是10÷2=5(厘米)时长方形面积最大
答:这个长方形的长、宽各是5厘米。
说明:一般地,我们有如下结论:(1)若两个数的和为定值,则两个数相等时,乘积最大;(2)在周长相等的长方形中,正方形的面积最大;在周长相等边数也相等的多边形中,正多边形的面积最大。而且周长相等的正多边形中,边数愈多的正多边形面积愈大。当边数无限地增多时,多边形愈来愈接近圆。因此,在周长一定的条件下,正三角形面积<正方形的面积<正五边形<…<圆面积。
例2:不能写成两个不同奇合数的和的最大偶数是多少?
分析与解答:
分析:解答本题的关键在于找到一个偶数,证明比它大的所有偶数都可以表示为两个不同的奇合数的和,而这个偶数不能表示为两个不同的奇合数的和。
注意,两个最小的奇合数为9和15,因而小于24的偶数一定不能表示为两个不同的奇合数之和,即只要在比24大的偶数中寻找。
由于比15大的最小的奇合数为21,9+21=30,于是可以从32开始寻找:32不能表示为两个不同的奇合数的和,34=9+25,36=9+27,38也不能表示为两个不同的奇合数的和;40=15+25,42=15+27,44=9+35,46=21+25,48=33+15…注意到在上面的40、42、44、46和48的算式中均有一个奇合数为5的倍数,而比48大的偶数总可以由40、42、44、46、48其中之一加上10的倍数得到,将这个10的倍数与上面的5的倍数的奇合数合在一起,得到一个新的奇合数,所以比38大的每一个偶数都可以写成两个不同的奇合数的和。由此,38是不能写成两个不同奇合数之和的最大偶数。
说明:枚举、筛选是一种既重要又基本的数学思想,熟练地掌握它,有利于我们解题。