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第一章数和数的运算
一、概念
(一)整数
1 .整数的意义
自然数和0 都是整数。
2 .自然数
我们在数物体的时候,用来表示物体个数的1,2,3……叫做自然数。
一个物体也没有,用0 表示。0 也是自然数。
3.计数单位:一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。
每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。
4. 数位
计数单位按照一定的顺序排列起来,它们所占的位置叫做数位。
5.数的整除
整数a除以整数b(b ≠ 0),除得的商是整数而没有余数,我们就说a 能被b 整除,或者说b 能整除a 。
如果数a 能被数b(b ≠ 0)整除,a 就叫做b 的倍数,b 就叫做a 的约数(或a 的因数)。倍数和约数
是相互依存的。
因为35能被7整除,所以35 是7 的倍数,7 是35 的约数。
一个数的约数的个数是有限的,其中最小的约数是1,最大的约数是它本身。例如:10的约数有1、2、
5、10,其中最小的约数是1,最大的约数是10。
一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身。3的倍数有:3、6、9、12……其中最小的倍
数是3 ,没有最大的倍数。
个位上是0、2、4、6、8 的数,都能被2整除,例如:202、480、304,都能被2 整除。。
个位上是0或5 的数,都能被5 整除,例如:5、30、405 都能被5 整除。。
一个数的各位上的数的和能被3 整除,这个数就能被3整除,例如:12、108、204都能被3 整除。
一个数各位数上的和能被9 整除,这个数就能被9 整除。
能被3 整除的数不一定能被9 整除,但是能被9 整除的数一定能被3 整除。
一个数的末两位数能被4(或25)整除,这个数就能被4(或25)整除。例如:16、404、1256 都能被4
整除,50、325、500、1675都能被25整除。
一个数的末三位数能被8(或125)整除,这个数就能被8(或125)整除。例如:1168、4600、5000、
12344 都能被8 整除,1125、13375、5000 都能被125整除。
能被2 整除的数叫做偶数。
不能被2 整除的数叫做奇数。
0 也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。
一个数,如果只有1和它本身两个约数,这样的数叫做质数(或素数),100以内的质数有:2、3、5、7、
11、13、17、19、23、29、31、37、41、 43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
一个数,如果除了1 和它本身还有别的约数,这样的数叫做合数,例如4、6、8、9、12 都是合数。
1 不是质数也不是合数,自然数除了1 外,不是质数就是合数。如果把自然数按其约数的个数的不同分类,
可分为质数、合数和1。
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数,叫做这个合数的质因数,
例如15=3×5,3和5 叫做15的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
例如把28分解质因数
几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数。其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数,例如12 的
约数有1、2、3、4、6、12;18 的约数有1、2、3、6、9、18。其中,1、2、3、6是12 和1 8 的公约数,6
是它们的最大公约数。
公约数只有1 的两个数,叫做互质数,成互质关系的两个数,有下列几种情况:
1 和任何自然数互质。
相邻的两个自然数互质。
两个不同的质数互质。
当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质。
两个合数的公约数只有1 时,这两个合数互质,如果几个数中任意两个都互质,就说这几个数两两互质。
如果较小数是较大数的约数,那么较小数就是这两个数的最大公约数。
如果两个数是互质数,它们的最大公约数就是1。
几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数,如2 的倍
数有2、4、6 、8、10、12、14、16、18 ……
3 的倍数有3、6、9、12、15、18 …… 其中6、12、18……是2、3的公倍数,6 是它们的最小公倍数。。
如果较大数是较小数的倍数,那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
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