奥数分享：从首个IMO季军谈起

2016IMO中国史无前例地获得了第三名，为此2002，2003两年IMO金牌得主付云皓老师在人人网发表长篇连载，就IMO、集训队、冬令营、高中联赛以及各类奥数培训等相关话题进行详尽的论述，包含很多奥赛内幕以及独到见解，相信对于关心奥数的家长有一定参考价值，现根据百度贴吧的转载文字整理成word文档供大家下载阅读。

片段实例：

Part8混乱的训练

本节再次涉及大量主观观点，不喜请屏蔽。另外请勿对号入座。

在讲阅卷困难导致的改变之前，我们先从参加人数增多讲起。

参加竞赛的人数增多，另一个直接的影响就是培训教师的缺乏。

一个省几十个人正经搞竞赛，最多一两个班就行了，老师是永远不缺的。尤其像北京这种地儿，IMO金牌想来讲课都得排队，更别说国集水平的同学了。

但是现在不一样啦，一个省几千人搞高联，怎么也要弄出三五十个班来，而且大家劲头都很足，算下来最少要近百个老师才能带的过来。

一个省能有一百个教高联能教的明白的老师吗？

很负责任的说，凡是叫省的，都没有。

小学的竞赛，读完高中成绩优良的理科生基本都能讲，真没多少东西。唯一的区别是有的老师讲的真是好，而大多数人只是能讲而已。初中的竞赛，大学读数学系，接触过竞赛的好好练两年基本都能讲，真没多少东西。唯一的区别同样是有的老师讲的真是棒，而大多数人仅仅是能讲而已。

高中的竞赛，那可就不一样了。小学的竞赛可能以初中的知识和思想为背景，初中的竞赛可能以高中的知识和思想为背景，这些都好掌握，掌握了这些的老师，至少在讲授时层次会高于学生，或者通俗一点讲，最少可以装装13。高联或者高联往上可就不好玩了。平面几何和对称不等式什么的，还能用时间堆，做上五六年最少耍起把式来能挺像样的。但是代数呢，没有分析和方程的功底，以及数感和放缩的技巧很难讲透；数论也差不多，把进位制、同余、完系和阶弄完之后，后面要么是在分析整数的结构，需要懂一些环和域的东西，要么是和组合结合的问题，运气不好冒出来一个小孩拿本解析数论来问你你可就呵呵哒了；组合更是要命，归纳反证极端原理仅仅是初级工具，既有极富初等思想的不妨设、对称、算两次，也有用对应或同构转化问题，还有母函数、线性代数等等高等的知识和技巧，更不用说组合可以和代数、几何、数论中任一领域结合，简直是无边无际。

顺带一提，个人认为代数里真正经典的是多项式，学过复变的都明白。可是多项式这玩意能代数能数论能组合，各种天坑，能讲明白的太少，学生会的也少，最后还反过来导致不敢随便考

大部分老师，苦练数年，能讲明白一个领域已经十分了不起了。况且现在的状况，大家都是快餐，没有多少老师再愿意去像以前那样花很长时间只为弄明白一块内容，那样还不如去讲初中小学，学生更多，更赚钱。

一个省就零零星星几个能讲明白的老师，更悲催的是没准这老师还是清高型不愿意讲课，或者学术型天天三点一线，一般的学生和家长甚至连面都见不到。

那这几千个学生找谁去辅导？

当然是不靠谱老师了。但是不靠谱老师怎么镇住学生？当然有办法了。

个人觉得办法基本就那么几个：讲套路，讲难题，背答案，教骗分。

下面一个一个介绍。

讲套路，事实上是只讲套路，把竞赛难题按照讲高考容易题的方法讲。其实我不反对讲一些套路，一个完全没接触过高中竞赛的孩子也是需要学套路的，但是把套路当唯一思路就不好了。数学怎么说也是锻炼思维的，这样不是在教孩子而是在毁孩子。当然了，如果家长和学生觉得靠这么学能上个好大学，毁毁孩子也无所谓，那我无话可说。特别还有一些老的竞赛难题，在新的竞赛书上有了系统理论之后就成了套路题，学生发现自己能做很难的竞赛题，那感觉就像武林外传里的李大嘴学了降龙十巴掌之后一样。

顺带说一下，个人觉得2015年的冬令营在新颖性上做得很好，六个题没一个能套路。不等式一调整就坑了，组合题不能归纳，平几题基本解法动不了，上解几又困难重重，数论题又考了多项式。冬令营的成绩一下子让我们看到了现在的学生做新题时的孱弱。考完之后猜国集分数线，主试委员会的猜测都集中在72到84分之间，结果不客气地说，如果这套题拿去考2003年前后的冬令营，国集的分数线估计会到81分左右（那时约25-30个国集），也就是说现在的高端战斗力做新题的能力也没比以前有提升。

讲难题，顾名思义就是类似给非顶尖的初中生讲冬令营，给非顶尖的高中生讲普特南这样的做法。数学是循序渐进的过程，违反自然规律的事可是要不得，偶尔讲一个题让孩子了解高度是可以的，但老是这样做就不好了。但是这样家长和学生可以膜拜啊，他们又找回了学习小学竞赛和初中竞赛时的感觉啊，就是这个feel，倍儿爽！但是这样做的一个很大的问题就是学生根本动不了笔，从而会养成只听课不思考的坏习惯，以后就是见了题都眼熟但是都不会做的节奏。我自己就会说，这个孩子被教废了。

背答案，这里注意是背答案而不是看答案。看答案是一个优秀的竞赛老师必须具备的技能，毕竟你不可能像学生一样每个题都做。看答案并非只是看答案，而是要根据答案来辅助理解问题，有时能举一反三得出其它解法，即便没有其它解法也不要紧，最少能总结出解答的哪些步骤是关键，再深一点可以总结背后有什么东西，在什么动机下能想到，是不是自然的，如果学生自己做的时候遇到困难，应当怎样给予提示才能收效最佳，等等。背答案那就性质不一样了，脑子里一背，黑板上一抄，然后解释每一步为什么对，这样好像跟直接发答案没什么区别。

教骗分，上船之后必做的事。题不会做怎么办？乱写一阵，所有你知道不知道名字的定理都写上去，总有阅卷老师看不懂的，看不懂他就不敢给你判错。尤其是证明题，没准就蒙到了。证明的题，尤其是几何，条件推一堆，结论推一堆，中间差一步，写上个显然。可是孩子啊，数学是严谨的，不是靠蒙的，这可比学套路什么的严重多了。学数学之前，先要学会做人啊！如果你不知道自己做的对不对，写上去无可厚非，但是你要是知道自己是胡说八道还写，那就是人品问题了。上一节也提到了，现在的竞赛阅卷压力很大，若是放到之前，阅卷老师完全有时间陪你玩，可是现在不行。因此，很多人就钻这个空子，就赌阅卷老师不敢判错，而这又反过来加重了阅卷者的工作量。冬令营级别的阅卷人尚能保证识破这样的忽悠，但联赛级别确实偶有漏网之鱼。记得某年冬令营，某省所谓最强学生，做了6个题有4个伪证，大抵就是这个原因罢。

竞赛参赛的人数增多导致了一些不靠谱老师的产生，但这还不是最严重的。还有什么更令人头疼的事情呢？且听下回分解。（TBC）

Part9脆弱的学生

先讲点上一节没讲完的东西。

上一节讲到有很多不靠谱的高中竞赛老师，先说一下他们为什么不去好好教小学初中呢？个人认为还是高中竞赛老师的特殊地位。毕竟小学和初中的竞赛老师确实很多，除非教得非常好，否则没有太高的地位。另一方面，大多数家长和孩子还是拿小学竞赛当小升初的敲门砖，拿初中竞赛当进好高中的敲门砖，同时他们也意识到，大多数市里县里的好的初中高中还是可以靠钱或者关系搞定，但是搞定优秀的大学是非常困难的。另外，省会级城市的第一名学校和第五名学校的教学差距，未必比得上优秀大学里哪怕是头批985和二批985的差距。经过9年（甚至超过9年）的竞赛长跑之后，大家也都把高中的竞赛当作终点。

回到正题。高中竞赛的参赛人数大幅度增加，不能赖政策，也不能赖不靠谱老师，初中高中的招生也仅仅是影响小学初中的竞赛。最终的问题，还是出在学生和家长身上。

近些年的高中生，大多是在95-00年出生的。这些孩子，从出生开始就一直被捧上天的人绝不占少数。尤其是如果还能学习号称是尖子生才能学的奥数，那简直就是飞机中的战斗机了！

所以，这些孩子全都成了布袋和尚说不得。

可是事实上呢？

奥数只适合5%的孩子学习（注意只是学习！），可是光参与的孩子恐怕就要超过20%。现在前20%的孩子能上啥大学？二本可都不一定（还有部分学生读不到高考的，所以20%到了那个时候可就是25%甚至30%了）。

天分不够，水平上不去，玻璃心倒是养出来了。

小学的时候呢，多学一点，能听懂也行，当个兴趣爱好。可是慢慢长大了，再花大量时间学竞赛，啥都听不懂，可就没有必要啦。

再说了，竞赛这个东西本来就是逐步淘汰的，学不懂就不要再花时间坚持，十年二十年前的家长都懂，为毛现在的家长就都不懂呢？

这种坚持，说好听的叫做破釜沉舟，说不好听的那就是无谓的坚持。

小学到初中是要淘汰一拨人的，初中到高中也是要淘汰一拨人的。我考华杯赛的时候华杯赛决赛的金牌，也有几个高联省一都没拿，这都很正常嘛（没准人家去搞其它竞赛了）。现在更是如此，小学竞赛全是填鸭，考好根本不代表什么，可能只是刷题多。到了高中，你以为你还能只靠刷题？

当然了，这个东西和学校以及校外的培训机构多多少少都有一些关系。学校嘛，总是希望更多的学生参与这些东西，最少述职报告上可以写写嘛；培训机构就更不用说了，多一个学生多一份钱。但是关键，还是在学生和家长身上。

即便是培训机构，只要是正规的，都时常会有考试和分班，跟不上的就学一些简单的呗，这不是很正常吗？竞赛这玩意再怎么说，每年也是要淘汰一部分人的，如果机构招生进来是10个班，讲了三年竞赛还是那10个班，一个人都没变，也没有人员交换，可以肯定这是个骗钱的机构。

可是这倒好，这种考试和分班制度，却被家长投诉说是歧视，不人道

初中竞赛，考试分个班，60人分两个班，结果50名左右的都要去快班

高中竞赛，到高二要停课集训，结果高一的联赛考40多分，高二模考从没上过100分的孩子都要去停课

这种事见多了，见怪不怪。

你去劝学生，学生不听。你去劝家长，家长说：凭什么我家孩子就比别人家孩子差！

哭笑不得。很多家长经常挂在嘴边的一句话就是：我家孩子学得挺好的，就是没考好。

应试是有可能有高分低能的，但是绝不可能有低分高能的，竞赛就更不可能了。判错了我信，没考好我不信。

这些孩子还听不得批评，当然老师也懒得批评。想想也是，在学校里的时候老师肯定管不住，谁愿意冒那么大险管教你家孩子啊？万一被你打了咋办？打死了咋办？到机构里人家机构就是讲课收钱的，家长和学生就是消费的大爷，更不会惹你不高兴。

这里插一点别的东西。

就业难因为什么？

因为毕业生高估自己。就这一点没别的。一本学校出来想一月两三万，想没想过每年毕业接近一百万的一本生，大学扩招的十几年就是近两千万人，可是全中国有多少人能到哪怕是一月一万？这个数字远比你想象的要低。

一般的大学里，你在学校是学霸，是风云人物，出了校门啥都不是。但要命的是，你还觉得你是个人物。

清北即便有一些舆论的影响，还是清北。只有在顶尖的大学里，你才能认识到和真正的神犇之间的差距。校内校外一比，才能精确的定位自己。有的事就不是你能做成的，或者做成的概率不超过彩票中头奖的概率，人要认清现实。（当然，如果你认清现实之后还有这个理想，那肯定要无条件支持）

回到正题。学竞赛的学生和他们的家长，高估的人太多了。

最后的结果大概就是这样的。四千个水平远不够省一的孩子和两百个水平有希望冲省一的孩子（这里包括十个很牛的孩子）一起玩命训练，一起考高联。该省省一有60个名额。

对那四千个孩子，由于题目变化，神发挥和阅卷误差等原因，冲到省一的概率就是1%，最后有40个省一。剩下200个孩子瓜分剩下20个省一。结果呢，那3960个孩子自然是撞了南墙回头，你以为那40个能幸免？金秋营，自招分分钟把他们刷下来。不仅如此，他们还耽误了宝贵的时间。本来裸考能上985的，最后可能连211都悬。但是剩下那200个就DT了。尤其是最好的十个孩子，完全是大坑。没准冒出来个谁谁谁就抢了一个省队的位置。

那4000个孩子坚持搞竞赛，得益的是谁？只有学校和竞赛老师，不解释。

我还是不说那句4个词10个字母的话了。

非顶尖水平的学生，其实并不适合在高中还继续花费大量时间学习竞赛，但是由于孩子的脆弱及家长的保护心理，他们还是选择了继续。那么，对于真正的顶尖学生，情况又是什么样呢？

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Part13急需的科普

我想到的第一个解决方案就是科普。

原因很简单，很多人不知道奥数是什么。中国十几亿人，真正知道奥数是什么的，恐怕只能以百万计，甚至可能还到不了百万。因为不了解，所以攻击，因为不了解，所以诋毁。人之常情。

我举一个例子。2013年我看到一个段子，说一个不识字的土豪解鸡兔同笼问题，先让鸡抬起一只脚，兔抬起两只脚（这时候脚的数量减半），然后再让每只动物抬起一只脚（这时脚的数量减少了等同于头的数量的值），这个时候鸡已经一屁股坐地上，兔子是单脚独立，很容易算出兔子的数量，然后再解出鸡的数量。段子的最后说，这让数学老师和奥数老师情何以堪啊。

看了这个段子，感觉怎么样？奥数老师是不是特S13？这可是连不识字土豪都会的做法。

真相是什么呢？我1992年在华罗庚数学学校学奥数的时候，老师就是这么教的。

另外拜托仔细想想，不识字土豪真会这个？

对了，这个段子就是来黑奥数的。但是可惜的是，我看了这个段子三四次，仅有一次有一个人的回复说鸡兔同笼就是这么学的。另外，跑男第二季第二集包贝尔也用了同样的方法，弹幕里也无任何人提到此事。

这个方法的道理是什么呢？不难看出，这就是解二元一次方程组的做法，只不过不用设未知数。

奥数是很有道理的，永远是低段工具解高段问题。

当然，如果你的奥数老师讲鸡兔同笼上来就列方程组，请让你的家长抽他两嘴巴子，然后申请退钱，因为这是一个不讲思维只念答案的庸师。

其实我觉得奥数真的缺很多科普的书，我们的出版社应该多重印一些好的科普书。我读小学初中的时候手头有好几本科普的小品文，多到我自己都从书里建立好了一套初等数学的体系。但是现在学竞赛的学生，哪还有什么科普书啊。

不仅是奥数需要科普，数学本身也需要科普。前段时间看到一个所谓小学奥数五星题，如下。

这个题怎么做呢？其实不要纠结于只用小学内容，你完全可以先算出面积再说。

不难看出，中间的阴影部分和右下角的阴影部分都是好算的，难点在于右上那一块。

建个坐标系好了，左下角是原点，联立直线和圆的方程不难算出对角线和右边圆的靠右上的交点坐标为(18,9)。然后连圆心，算扇形面积，发现面积里有个反三角函数。

这个时候基本就可以肯定了，这个题肯定不是小学题，小学题再怎么样，答案里绝对不会有反三角函数！

这个题原题啥样？看出来也很容易，其实就是多了左下角一块小的黑色，这样用对称就得到阴影面积等于矩形面积减去两个圆面积之后剩余部分的一半。

结果呢？这个有技巧的好题被刻意地改动，完了之后又成了黑奥数的东西。

其实，只要掌握了高中知识，很容易识破这样的伎俩。

其它的很多问题也是类似的，其实掌握好高中数学知识和高等数学知识的人，绝对不会上当。相反，很多初中小学的奥数教师，如果高等数学没学好或者没学过，是很容易被一骗一个准的。

所以，我这里还是建议所有奥数教师都先学好高等数学再来教奥数，也避免总是问一些秀智商下限的问题。

除了知识，一些理论也是必须要科普的。

初等数学中有很多解决不了的问题。这个事中国有多少人知道？可能百分之五都不到。

换一个具体一点的吧。五次或者五次以上的方程是没有通解的。这个事估计知道的多一点，但应该也不会超过百分之十。

所以咯，奥数黑完全可以随手抛出若干五次六次方程，说奥数就考这个。

不科普，永远不能洗白，你解释了一个还有另一个。

还有，不定方程也是。别忘了费马大定理就是初等不定方程，孪生素数猜想也可以算进去。一个不定方程不能解太正常了。例如，n允许含有素因子2,3,5，n+1允许含有素因子7,11,13，求n。这是个骗人的题，即便能做也是狂讨论，没有任何实际意义，但是一个在中小学没有接触过奥数的数学系本科生比一个大学没学过数学的初中小学奥数教师更容易发现事情的真相。

不止圈外要科普，圈内也要科普。有关难题的问题就是一例。

应该有很多人认为出难题就很厉害，也有很多奥数教师以难倒别人为自豪，然后吹嘘。

但是实际上，出难题不是难事。

我自己出过6个超级难题，个个堪比ELMOShortlist压轴题，如果哪个高中生能做上其中的一半，绝对是国家队水平之上。而且，每个题我绝对可以在30分钟内解释清楚。可是我基本不公开拿出来，也从不拿来炫耀，因为没有必要。只有当国家队级别的选手做所有题都秒杀，然后又向我要新题的时候，我才会拿出来一个两个让他们去自虐去。

顺带一说，2009年选拔的时候我拿出来过一个，被其他几个老师否了，因为他们判断那个题只能考考韦教主，其他人肯定全跪，没有任何选拔意义。老师们的原话是，我们又不是选一个人，我们是选六个人。题不是出难了才有意义，而是难度恰到好处才有意义。从训练的角度来看，是让学生能够得着，开发思维才有意义；从选拔的角度看，要能区分学生，选出好学生来才有意义。

另一个例子是2015年的女子赛第四题，这个题其实是一个广泛问题的简单情况，详述这个问题背景的文章发表在中等数学2016年第一期。个人觉得原题放到国家队选拔，都不会有什么人做出来。即便是那篇文章，能看懂的估计也寥寥无几。

只有给大众科普了什么是数学，什么是奥数，才不会有那么多的奥数黑存活的空间，奥数选手的压力才会减轻一些。另一方面，弄清奥数是什么之后，会有很多水平不足的学生和家长退出，间接地给真正的高手更多的位置。

科普是必须的，然而还有什么好方法呢？且听下回分解。（TBC）