备战2013小升初：数学知识点之最值问题

成都奥数网10月19日 为帮助更多2013成都小升初的同学们顺利升学，成都奥数网整理了小升初数学必考知识点，适合六年级同学小升初复习之用，低年级也可以提前学习一下。

最值问题

内容概述

均值不等式，即和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小。各种求最大值或最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，如较高数位上的数值，有时局部调整和枚举各种可能情形也是必要的。

典型问题

1.有4袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块。那么这4袋糖块的总和最少有多少块？

【分析与解】 方法一：设这4袋为A、B、C、D，为使4袋糖块的总和最少，则每袋糖应尽量平均，有A、B、C袋糖有20、20、21块糖。

则当A、B、D三袋糖在一起时，为了满足条件，D袋糖不少于21块，验证A、B、C、D这4袋糖依次有20，20，2l，2l时满足条件，且总和最少。

这4袋糖的总和为20+20+21+21=82块。

3（a+b+c+d）>240,a+b+c+d>80，因为a、b、c、d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是81.至于为什么会出现这种情况。如何避免，希望大家自己解决。

2.用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE，再用O，2，4，6，8这5个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ.求算式ABC×DE-FGH×IJ的计算结果的最大值。

【分析与解】 为了使ABC×DE-FGH×IJ尽可能的大，ABC×DE尽可能的大，FGH×IJ尽可能的小。

则ABC×DE最大时，两位数和三位数的最高位都最大，所以为7、9，然后为3、5，最后三位数的个位为1，并且还需这两个数尽可能的接近，所以这两个数为751，93.

则FGH×IJ最小时，最高位应尽可能的小，并且两个数的差要尽可能的大，应为468×20.

所以ABC×DE-FGH×IJ的最大值为751×93-468×20=60483.

评注：类似的还可以算出FGH×IJ-ABC×DE的最大值为640×82-379×15=46795.

3.将6，7，8，9，10按任意次序写在一圆周上，每相邻两数相乘，并将所得5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少？

【分析与解】 我们从对结果影响最大的数上人手，然后考虑次大的，所以我

们首先考虑10，为了让和数最小，10两边的数必须为6和7.

然后考虑9，9显然只能放到图中的位置，最后是8，8的位置有两个位置可放，而且也不能立即得到哪个位置的乘积和最小，所以我们两种情况都计算。

8×7+7×10+10×6+6×9+9×8=312;

9×7+7×10+10×6+6×8+8×9=313.

所以，最小值为312.

4.一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？

【分析与解】设这个两位数为 =lOa+b，它们的数字和为a+b,因为lOa+b=（a+b）+9a，所以lOa+b≡9a（mod a+b），

设最大的余数为k，有9a≡k（mod a+b）。

特殊的当a+b为18时，有9a=k+18m，因为9a、18m均是9的倍数，那么k也应是9的倍数且小于除数18，即0，9，也就是说余数最大为9；

所以当除数a+b不为18，即最大为17时，

所以最大的余数为15，此时有两位数79÷（7+9）=4……15.

5.用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确的减法算式，那么这个算式的差最大是多少？

【分析与解】 考虑到对差的影响大小，我们先考虑百位数，为了让差最大，被减数的百位为9，减数的百位为1，如果差的百位为8，那算式就是如下形式：剩下的6个数字为2、3、4、5、6、7，因为百位数字为8，所以我们可以肯定被减数的十位数字比减数要大，而且至少大2，因为1已经出现在算式中了，算式的可能的形式如下：

得数的十位只可能是减数和被减数的十位数字之差，或者小1，可能的算式形式如下：

但这时剩下的数都无法使算式成立。再考虑差的百位数字为7的情况，这时我们可以肯定减数的十位数比被减数要大，为了使差更大，我们希望差值的十位为8，因此，算式可能的形式为：

再考虑剩下的三个数字，可以找到如下几个算式：

，所以差最大为784.

6. 4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等。这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少？

7.有13个不同的自然数，它们的和是100.问其中偶数最多有多少个？最少有多少个？

【分析与解】 13个整数的和为100，即偶数，那么奇数个数一定为偶数个，则奇数最少为2个，最多为12个；对应的偶数最多有11个，最少有1个。

但是我们必须验证看是否有实例符合。

当有11个不同的偶数，2个不同的奇数时，11个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22=132，而2个不同的奇数和最小为1+3=4.它们的和最小为132+4=136，显然不满足：

当有9个不同的偶数，4个不同的奇数时，9个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18=90，而4个不同的奇数和最小为1+3+5+7=16，还是大于100，仍然不满足；

当有7个不同的偶数，6个不同的奇数时，7个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14=56，6个不同的奇数和为1+3+5+7+9+11：36，满足，如2，4，6，8，10，12，22，1，3，5，7，9，11的和即为100.

类似的可知，最少有5个不同的偶数，8个不同的奇数，有2，4，8，10，16，1.3.5，7，9，11，13，15满足。

所以，满足题意的13个数中，偶数最多有7个，最少有5个。

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