浅析数论部分的最值问题

我们经常说的一句话就是"和一定，差小积大，差大积小"那么到底应该如何准确理解并应用它解决实际问题呢?

A+B=C

和一定，指的是A与B的和是不变的，为C。

差小积大，'差'指的是A和B的差距，A和B差距越小，乘积越大;

差大积小，理解方法同上，A和B差距越大，乘积越小。

例1用60米长的铁板围成一个长方形鸡窝，问这个鸡窝的面积最大是多少?

分析：现在a+b=60÷2=30，a,b和一定，当a=b=30/2=15时，a,b的差距最小，此时a，b的乘积最大，此时鸡窝的面积最大，为ab=15×15=225

例2用60米长的铁板围成一个长方形鸡窝，现在要借助一个墙角，问这个鸡窝的面积最大是多少?

分析：现在a+b=60，a,b和一定，当a=b=60/2=30时，a,b的差距最小，此时a，b的乘积最大，此时鸡窝的面积最大，为ab=30×30=900

例3用60米长的铁板围成一个长方形鸡窝，现在要借助一面墙，问这个鸡窝的面积最大是多少?

分析：现在a+2b=60，a,2b和一定，当a=2b=60/2=30时，a,2b的差距最小，a=30,b=30/2=15,此时a，2b的乘积最大，为a×2b=30×30=900。注意理解a,2b乘积最大时，a,b的乘积也最大。因此此时鸡窝的面积最大，a×b=30×15=450

这里是同学们最容易错的地方。

例4用60米长的铁板围成两个并列的长方形鸡窝，现在要借助一面墙，问每个鸡窝的面积最大是多少?

分析：现在2a+3b=60，2a,3b和一定，当2a=3b=60/2=30时，2a,3b的差距最小，a=30/2=15,b=30/3=10,此时2a，3b的乘积最大，为2a×3b=30×30=900。注意理解2a,3b乘积最大时，a,b的乘积也最大。因此此时鸡窝的面积最大，a×b=15×10=150。

例5用60米长的铁板围成五个并列的长方形鸡窝，现在要借助一面墙，问每个鸡窝的面积最大是多少?

分析：现在5a+6b=60，5a,6b和一定，当5a=6b=60/2=30时，5a,6b的差距最小，a=30/5=6,b=30/6=5,此时5a，6b的乘积最大，为5a×6b=30×30=900。注意理解5a,6b乘积最大时，a,b的乘积也最大。因此此时鸡窝的面积最大，a×b=6×5=30。