五年级奥数小知识--变换

任给一个自然数n，如果n是偶数，则将它除以2；如果n是奇数，则将它乘以3，再加上1，我们称这种作法为对于数n的变换.例如，对于数5，按照上述规则进行一次变换得到。

3×5＋1＝16.

对16施行变换得 16÷2＝8.

将这种变换继续下去，有

8÷2＝4， 4÷2＝2，

2÷2＝1， 1×3＋1＝4，

4÷2＝2， 2÷2＝1，

……

有趣的是，对于数5，按照上面所要求的规则不断变换下去，最终出现形如

4→2→1→4→2→1→……的重复.

还可以以6为例按上述指定规则进行变换，得到

6→3→10→5→16→8

4→2→1→4→2→1→……

再如18，

18→9→28→14→7→22→

11→34→17→52→26→13→

40→20→10→5→16→8→

我们发现在这种指定变换下，无论开始是哪个自然数，最终总得到形如

4→2→1→4→2→1的循环、重复.

遗憾的是我们不能仅凭列举若干自然数，就断定对任何自然数n都具备这种性质。事实上，到目前为止，还没有谁能证明这一点。

在竞赛中我们会遇到一些类似的变换，有时候是对一个数连续进行某种指定变换，有时候是对一组数连续进行某种指定变换。在纷乱多样的变化中，却隐藏着某种规律，而我们解决这些问题的关键，就在于透过表面现象，从“万变”中揭示出“不变”的数量关系。

例1 对任意两个不同的自然数，将其中较大的数换成这两数之差，称为一次变换。如对18和42可进行这样的连续变换：

18，42→18，24→18，6→12，6→6，6。

直到两数相同为止。问：对12345和54321进行这样的连续变换，最后得到的两个相同的数是几？为什么？

解 ：如果两个数的最大公约数是a，那么这两个数之差与这两个数中的任何一个数的最大公约数也是a。因此在每次变换的过程中，所得两数的最大公约数始终不变，所以最后得到的两个相同的数就是它们的最大公约数。因为12345和54321的最大约数是3，所以最后得到的两个相同的数是3。

说明 这个变换的过程实际上就是求两数最大公约数的辗转相除法。

例2 在图1中，对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加1或减1，这算作一次变换。经过若干次变换后，图1变为图2。问：图2中A格中的数字是几？

解 ：每次变换都是在相邻的两格，我们将相邻的两格染上不同的颜色（如图3）。因为每次变换总是一个黑格与一个白格的数字同时加上或减1，所以所有黑格内的数字之和与所有白格内数字之和的差保持不变。因为图1的这个差是13，所以图2的这个差也是13。由（A＋12）－12＝13得A＝13。

例3 ：黑板上写着三个整数，任意擦去其中一个，将它改写成为其它两数之和减1，这样继续下去，最后得到3，1997，1999，问原来的三个数能否是2，2，2？

解：答案是否定的。

注意到2，2，2按照题设中的方式首先变换为2，2，3，再变换下去必定其中两个为偶数，一个为奇数（数值可以改变，但奇偶性不变）。但3，1997，1999是三个奇数，所以2，2，2永远不会按照所述方式变为3，1997，1999。

想想练练

1、黑板上写着1～15共15个数，每次任意擦去两个数，再写上这两个数的和减1。例如，擦掉5和11，要写上15。经过若干次后，黑板上就会剩下一个数，这个数是几？

2、在黑板上任意写一个自然数，然后用与这个自然数互质并且大于1的最小自然数替换这个数，称为一次变换。问最多经过多少次变换，黑板上就会出现2？

3、口袋里装有101张小纸片，上面分别写着1～101。每次从袋中任意摸出5张小纸片，然后算出这5张小纸片上各数的和，再将这个和的后两位数写在一张新纸片上放入袋中。经过若干次这样做后，袋中还剩下一张纸片，这张纸片上的数是几？

4、在一个圆上标出一些数：第一次先把圆周二等分，在两个分点分别标上2和4。第二次把两段半弧分别二等分，在分点标上相邻两数的平均数3（图4）。第三次把四段弧再分别二等分，在四个分点分别标上相邻两分点两数的平均数。如此下去，当第8次标完后，圆周上所有标出的数的总和是多少？