2015青岛华杯赛的考试时间安排已经确定,而华杯赛的试题主要还是以小学奥数知识为基础考察点。所以备战2015华杯赛,首先应该对小学奥数知识进行整体梳理,下文是对奥数知识体系中余数、分数、百分数的总结,希望可以帮助青岛娃的华杯赛备考。【点击查看详情】
【余数及其应用】
余数的性质:
①余数小于除数。
②若a、b除以c的余数相同,则c|a-b或c|b-a。
③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。
④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。
余数、同余与周期:
1、同余的定义:
①若两个整数a、b除以m的余数相同,则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m,如果m|a-b,就称a、b对于模m同余,记作a≡b(modm),读作a同余于b模m。
2、同余的性质:
①自身性:a≡a(modm);
②对称性:若a≡b(modm),则b≡a(modm);
③传递性:若a≡b(modm),b≡c(modm),则a≡c(modm);
④和差性:若a≡b(modm),c≡d(modm),则a+c≡b+d(modm),a-c≡b-d(modm);
⑤相乘性:若a≡b(modm),c≡d(modm),则a×c≡b×d(modm);
⑥乘方性:若a≡b(modm),则an≡bn(modm);
⑦同倍性:若a≡b(modm),整数c,则a×c≡b×c(modm×c)。
3、关于乘方的预备知识:
①若A=a×b,则MA=Ma×b=(Ma)b
②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md.
4、被3、9、11除后的余数特征:
①一个自然数M,n表示M的各个数位上数字的和,则M≡n(mod9)或(mod3);
②一个自然数M,X表示M的各个奇数位上数字的和,Y表示M的各个偶数数位上数字的和,则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod11)。
5、费尔马小定理:如果p是质数(素数),a是自然数,且a不能被p整除,则ap-1≡1(modp)。
【分数与百分数的应用】
基本概念与性质:
分数:把单位“1”平均分成几份,表示这样的一份或几份的数。
分数的性质:分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。
分数单位:把单位“1”平均分成几份,表示这样一份的数。
百分数:表示一个数是另一个数百分之几的数。
常用方法:
①向思维方法:从题目提供条件的反方向(或结果)进行思考。
②对应思维方法:找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。
③转化思维方法:把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系;把不同的标准(在分数中一般指的是一倍量)下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。
④假设思维方法:为了解题的方便,可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立,计算出相应的结果,然后再进行调整,求出最后结果。
⑤量不变思维方法:在变化的各个量当中,总有一个量是不变的,不论其他量如何变化,而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况:A、分量发生变化,总量不变;B、总量发生变化,但其中有的分量不变;C、总量和分量都发生变化,但分量之间的差量不变化。
⑥替换思维方法:用一种量代替另一种量,从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。
⑦同倍率法:总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。
⑧浓度配比法:一般应用于总量和分量都发生变化的状况。
【分数大小的比较】
基本方法:
①通分分子法:使所有分数的分子相同,根据同分子分数大小和分母的关系比较。
②通分分母法:使所有分数的分母相同,根据同分母分数大小和分子的关系比较。
③基准数法:确定一个标准,使所有的分数都和它进行比较。
④分子和分母大小比较法:当分子和分母的差一定时,分子或分母越大的分数值越大。
⑤倍率比较法:当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小,除了运用以上方法外,可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。
⑥转化比较方法:把所有分数转化成小数(求出分数的值)后进行比较。
⑦倍数比较法:用一个数除以另一个数,结果得数和1进行比较。
⑧大小比较法:用一个分数减去另一个分数,得出的数和0比较。
⑨倒数比较法:利用倒数比较大小,然后确定原数的大小。
⑩基准数比较法:确定一个基准数,每一个数与基准数比较。
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