天津奥数网余数问题是小升初数学考试中重要的知识点,但是很多同学却不甚清楚。权老师总结了余数知识点和大家分享,帮同学们理清思路。
一、中国古代剩余定理
我国明朝有位大数学家叫程大位,他在解答“物不知其数”问题(即:有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?)时用四句诗概括出这类问题的优秀解法:“三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆正月半,除百零五便得知.”这首诗就是解答此类问题的金钥匙,它被世界各国称为“中国剩余定理”(ChineseRemainderTheorem),是我国古代数学的一项辉煌成果。诗中的每一句话都表示一个步骤:三人同行七十稀,是说除以3所得的余数用70乘。五树梅花廿一枝,是说除以5所得的余数用21乘。七子团圆正月半,是说除以7所得的余数用15乘。除百零五便得知,是说把上面乘得的3个积加起来,减去105的倍数,减得差就是所求的数。此题的中国剩余定理的解法是:用70乘3除所得的余数,21乘5除所得的余数,15乘7除所得的余数,把这3个结果加起来,如果它大于105,则减去105,所得的差如果仍比105大,则继续减去105,最后所得的整数就是所求。
二、余数性质
同余定义
如果a,b除以c的余数相同,就称a,b对于除数c来说是同余的,且有a与b的差能被c整除。(a,b,c均为自然数)
例如:17与13除以3的余数都是2,所以(17-11)能被3整除。
同余定理
(一)可加性
a与b的和除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之和(或这个和除以c的余数)。
例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以(23+16)除以5的余数等于3+1=4。
注意:当余数之和大于除数时,所求余数等于余数之和再除以c的余数。
例如:23,19除以5的余数分别是3和4,所以(23+19)除以5的余数等于(3+4)除以5的余数。
(二)可减性
a与b的差除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之差。
例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以(23-16)除以5的余数等于3-1=2。
注意:当较大数的余数小于较小数的余数时,所求余数等于c减去余数之差。
例如:23,19除以5的余数分别是3和4,所以除以(23-19)的余数等于5-(4-3)=4。
(三)可乘性
a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之积(或这个积除以c的余数)。
例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以除以5的余数等于。
注意:当余数之积大于除数时,所求余数等于余数之积再除以c的余数。
例如:23,19除以5的余数分别是3和4,所以除以5的余数等于除以5的余数。