构造论证与最值：
一、整体比重
构造论证、极值问题在华杯赛中还是占有相当的比重。从十四、十五届决赛试卷来看，整体比重在16.7%。如第十届的第3和12题，十五届的9和11题，考的都是这种类型的试题。
二、知识点分布以及难度分布
构造论证、极值问题等问题考察知识点比较分散，从最近四年的试题来看，考察过的知识点主要有：
1、等差数列估算和极值问题；
2、操作问题-----划数、最大值最小值；
3、逻辑推理-----足球赛、数独；
4、构造问题------相间染色。
【考察难度】
所考知识点以中等试题为主，含个别难题，试题以3★、4★为主。学生基本上能下手，但是真正要得满分，还是需要加强各方面的训练！
【如何备战】
这类试题着眼于学生的逻辑分析能力，分类讨论能力，需要学生具备很强的综合能力。在具体备战的时候需要我们学生重点做到以下三点：
1、对比历届试卷（重点以最近四届为主），总结相应知识模块、沉淀出相应的方法；
2、重点培养分类讨论、逻辑分析能力；
3、重点攻破《第16届华杯赛赛前教程》相应知识模块，建议做前70%的试题；
4、训练这些试题的解题规范。
【最近四届试题分析】
[15届决赛]右图中有5个由4个1×1的正方格组成的不同形状的硬纸板。问能用这5个硬纸板拼成右图中4×5的长方形吗？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由。
【答案】不能
【知识点】染色分析+奇偶性分析
【分析】将长方形黑白染色，将5个图形也进行黑白染色，如下图
除④号盖住3个黑的或者1个黑的，其它均盖住一黑一白，所以5个纸板只能盖住11个黑的或者9个黑的。矛盾！
【总结】此类题目难度不大，基本方法也是常规的黑白相间染色。但是对解题的步骤有很高的要求！
[15届决赛]足球队A，B，C，D，E进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜队得3分，负队得0分，平局两队各得1分，若A，B，C，D队总分分别是1，4，7，8，请问：E队至多得几分？至少得几分？
【答案】7、5
【知识点】逻辑推理---足球赛
【分析】假设ABCDE5支队伍总分为abcde，则五队总分为a+b+c+d+e=20+e。易知单循环赛共10场，总得分不会超过30分。只要有一场比赛踢平，则总得分减少1分。A队一定是3负1平；B队有可能是4平或者1胜1平2负；C队一定是2胜1平1负；D队一定是2胜2平。所以比赛至少有 3场平局，至多有5场平局。最后总得分最多27分，最少25分。对应的E队伍最多7分，最少5分。
【总结】对这类题，考的是足球赛中的一些常识。需要我们学生对基本的结论很清楚。如总的场次、总分和平局数量的关系等等。
[14届决赛]将七位数“2468135”重复写287次组成一个2009位数“24681352468135…”。删去这个数中所有位于奇数位（从左往右数）上的数字后组成一个新数；再删去新数中所有位于奇数位上的数字；按照上述方法一直删除下去知道剩下一个数字为止，则最后剩下的数字是 ______。
【答案】2
【知识点】操作---划数
【分析】通过找规律可以发现，第一次留下的数是编号为2的倍数的数，第二次留下的数是编号为4的倍数的数，依次类推，到最后留下的数应该是最接近 2009的，而且能写成2n形式的数，应为第1024个，7个数为一个周期，1024÷7=146…2。对应周期的第二个数为2。。
【总结】题目本身看着很难，但是通过找规律可以快速的找到方法。有的时候碰到很复杂的试题的时候，不妨通过找规律的方法哦。
[14届决赛]在50个连续的奇数1,3，5，…，99中选取k个数，使得它们的和为1949，那么k的最大值是多少？
【答案】43
【知识点】极值问题---等差数列
【分析】要使得个数尽量多，选的数尽量小即可。考虑前n个奇数的和1+3+5+…+（2n-1）=n2.
452=2025,442=1936。所以选的个数不能超过44个。但44个奇数的和必为偶数，矛盾！这样一来，最多只能取43个，而事实上是可以是实现的。只需要从1,3,5，89删去两个奇数即可！满足它们的和为89即可！
【总结】此题难度较大，需要学生具备估算能力、奇偶分析能力。
[13届决赛]黑板上写着1至2008共2008个自然数，小明每次擦去两个奇偶性相同的数，再写上它们的平均数，最后黑板上只剩下一个自然数，这个数可能的最大值和最小值的差是______。
【答案】2005
【知识点】极值问题---操作类
【分析】先求剩下的最大值，那么擦去的数应该尽量小，
首先擦去1,3，写上2，
擦去2,2，写生2，
擦去2,4，写上3，
……
擦去2006，2008，写上2007；
同理可知剩下的数最小为2。
所以最大值和最小值的差为2005。
【总结】此题需要学生自己去构造操作的方法。
[12届决赛]下图是一个9×9的方格图，由粗线隔为9个横竖各有3个格子的“小九宫”格，其中，有一些方格填有1至9的数字。小青在第4列的空格中各填入了一个1至9中的自然数，使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复，然后小青将第4列的数字从上向下写成一个9位数。请写出这个9位数，并且简单说明理由。
【答案】327468951.
【知识点】逻辑推理---数独
【分析】用（a，b）表示第a行第b列的方格，第4列已有数字1、2、3、4、5，第6行已有数字6、7、9，所以方格（6，4）＝8；第3行和第5 行都有数字9，所以（7，4）＝9；正中的“小九宫”中已有数字7，所以只能是（3，4）＝7；此时，第4列中只余（5，4），这一列只有数字6未填，所以（5，4）＝6。所以，第4列的数字从上向下写成的9位数是：327468951。
【总结】这种题型考察的是生活中常见的数独，只要我们的学生接触过这类题，整体难度不会很大。对数独，只要多接触，方法自然而然的就会成型。