难度：★★★★
一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣1分，不答不得分．问：要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？
【答案】 由题目条件这次数学竞赛的得分可以从10-10=0 分到10+3×10=40 分，但注意到39、38、35这3个分数是不可能得到的，要保证至少有4人得分相同，至少需要3×（41-3）+1=115 人．
难度：★★★★★
对一块 3×7的棋盘，每一格可任意染成黑色或白色．求证：对任意的染法，棋盘上至少有一个长
方形，它的四个角着色相同．
【答案】
因为只有两种颜色，所以第一行的7个格中至少有4个格着色相同，为确定起见，不妨设前4个格着白色．如果第二行的前4格有2个着白色，则四个角同色的 矩形已经存在，所以我们假定第二行的前4格中至少有3个着黑色，不妨假定前三个格着黑色．又第四行的前3个格至少有2个同色，当有2个白色时与第一行构成 四角同色的矩形，当有2个黑色时与第二行构成四角同色的矩形．