数学学习中，经常做的一件事就是求值，求值问题中有一类是在一定条件下求最大值或最小值，这类问题有很强的实际应用价值。最大值最小值问题五花八门，涉及的知识很广泛。
例1：一个长方形周长为20厘米，要使它的面积最大，这个长方形的长、宽各是多少厘米？
分析与解答：
分析：长方形的面积=长×宽，要使长方形的面积最大，即长、宽的乘积最大。长与宽的和是其周长的一半，即10厘米。注意，两个数和一定时，其差愈小，则其积愈大。于是，当长方形的长与宽相等时，即该长方形边长是5厘米的正方形时，面积最大。
解答：长和宽的和=20÷2=10（厘米）
长、宽分别是10÷2=5（厘米）时长方形面积最大
答：这个长方形的长、宽各是5厘米。
说明：一般地，我们有如下结论：（1）若两个数的和为定值，则两个数相等时，乘积最大；（2）在周长相等的长方形中，正方形的面积最大；在周长相等边数也相等的多边形中，正多边形的面积最大。而且周长相等的正多边形中，边数愈多的正多边形面积愈大。当边数无限地增多时，多边形愈来愈接近圆。因此，在周长一定的条件下，正三角形面积＜正方形的面积＜正五边形＜…＜圆面积。
例2：不能写成两个不同奇合数的和的最大偶数是多少？
分析与解答：
分析：解答本题的关键在于找到一个偶数，证明比它大的所有偶数都可以表示为两个不同的奇合数的和，而这个偶数不能表示为两个不同的奇合数的和。
注意，两个最小的奇合数为9和15，因而小于24的偶数一定不能表示为两个不同的奇合数之和，即只要在比24大的偶数中寻找。
由于比15大的最小的奇合数为21，9＋21=30，于是可以从32开始寻找：32不能表示为两个不同的奇合数的和，34=9+25，36=9+27，38也不能表示为两个不同的奇合数的和；40=15+25，42=15+27，44=9+35，46=21+25，48=33+15…注意到在上面的40、42、44、46和48的算式中均有一个奇合数为5的倍数，而比48大的偶数总可以由40、42、44、46、48其中之一加上10的倍数得到，将这个10的倍数与上面的5的倍数的奇合数合在一起，得到一个新的奇合数，所以比38大的每一个偶数都可以写成两个不同的奇合数的和。由此，38是不能写成两个不同奇合数之和的最大偶数。
说明：枚举、筛选是一种既重要又基本的数学思想，熟练地掌握它，有利于我们解题。
例3：两个四位数，每一个的各位数字互不相同，如果它们的差是1999，那么它们的和的最大值是多少？
分析与解答：
分析：要想使两个四位数的和最大，那么这两个数高位上的数越大越好。
不妨设这两个四位数为abcd、efgh。（a≠b≠c≠d；e≠f≠g≠h），根据题意就得到：
若令abcd+efgh的值最大，那么就有
a＋e＞b＋f＞c＋g＞d＋h.
如果a=9，e=8，显然此题无解。只能是a=9，e=7，则b=8，f=8，c=6，g=6，d=4，h=5，符合题意。
因此这两个四位数的最大值是9864＋7856=17729。
说明：最小中求最大或最大中求最小是离散最值问题较典型的题目。
例4：某学习小组有4名女生、2名男生。在一次考试中，他们做对试题的数量各不相同，最多对10题，最少对4题；女生中做对最多的比男生做对最少的多4题，男生中做对最多的比女生中做对最少的多4题。男生中做对最多的人对了几道题？
分析与解答：
分析：本题的关键是分析它们的数量关系，根据数量关系进行推理。
由题意可知共计有4＋2=6名同学，由这6名同学做对试题的数量各不相同，且最多的对10题，最少对4题可知：6名同学做对的题数只能是4、5、6、7、8、9、10中的六个数。
若做对最少的是男生，即男生做对最少的是对4道题，则女生做对最多的对8道题（4＋4=8），所以男生做对最多的对10题。
由女生做对最多的对8题可知：女生4名同学分别对5、6、7、8道题。因为10－5=5道，与已知男生做对最多的比女生做对最少的多4题矛盾，由此否定男生是做对最少的。
若做对最少的是女生，即女生做对最少的是对4题，则男生做对最多的对8题（4＋4=8），所以女生做对最多的对10题，则男生做对最少的对6题（10－4=6）。
因此4名女生做对的题数可能是4、5、7、10；4、5、9、10；4、7、9、10。男生做对的题数是6、8，于是男生中做对最多的对8题。
说明：本题选自1999年全国小学数学奥林匹克决赛试题，相信此题会给小读者们一些启迪。
例5：20=10＋10=5＋5＋10=1＋2＋3＋4＋5＋5=1＋1＋…＋1，这说明20可用多种形式写成若干个自然数之和。在每种写法中，将这种写法所包含的所有自然数相乘，问乘积的最大值是多少？
分析与解答：
分析：把20的各种拆法一一列举出来，并且计算每一种情况下各加数的乘积，从中找出最大的，这当然是一种方法，但是工作量较大。
容易想到，加数中有1是不利的，因为1与其他数相乘时，1起不到作用。这就是说，为求最大乘积，各加数中不应当有1。
加数中如果有4，可进一步拆成两个2，这是因为2×2=4，计算乘积时把一个4换成两个2不影响结果。因此，我们可以使加数中不含4。
如果加数中有3个或3个以上的2，不如把3个2换成两个3。这是因为2＋2＋2=3＋3，但2×2×2＜3×3；如果加数中有7，不如改为3＋2＋2；…；如果加数中有5——10中的某数，总可以把它们拆成若干个3与不多于3个2之和，这样会使乘积变大。
解：20=2＋3＋3＋3＋3＋3＋3，所求的最大乘积是2×3×3×3×3×3×3=1458。
说明：一般地，对自然数N进行拆分时，为了使所有加数之乘积最大，我们总要使加数中不含1，不含4或4以上的自然数，不含3个或3个以上的2，使所有加数的乘积最大的拆分办法是唯一确定的。
例6：连续自然数1、2、…、N[N＞50]。如果从中任取50个数，都能从中找到两个数，使这两个数的差等于7。问N的最大值是多少？
分析与解答：
分析：我们可以这样考虑：（1，8），（2，9），（3，10），…，（7，14），（15，22），（16，23），…，（21，28），（29，36），（30，37），…，（35，42），…，（85，92），（86，93），…，（91，98）。容易看到，1，2，…，98中每个数都出现一次而且只出现一次，共49组。
解：根据抽屉原则知，从1，2，…，98中任取50个数，其中至少有两个数取自上述49组中的同一组，而同一组中的两个数相差7，因此N的最大值是98。
说明：最大最小问题题型十分丰富，解答这类问题有利于提高同学们的分析能力，有利于培养同学们灵活、科学运用知识的能力。
例7：已知算术式abcd－efgh=1996，其中abcd和efgh均为四位数，a、b、c、d、e、f、g、h是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中的八个不同数字。问abcd与efgh之和的最大值与最小值的差是多少？
分析与解答：
分析：如果b不借位，那么b也不能退位，并且b=9，f=0，这时必有c=9，g=0，不符合题意，因此b必须借位。但是，这时b又不能退位，否则（10＋b－）－f=9，即b=f，不符合题意。
所以必有c=9，g=0，并且（a－1）－e=1，（10＋b）－f=9，d－h=6。即a=e＋2，b=f－1，d=h＋6。又知abcd＋efgh=abcd＋（abcd－1996）=2abcd－1996，要求abcd＋efgh的最大值，abcd须尽可能的大，则a应尽可能大，所以a=8，则e=6；其次b尽可能大，取b=4，则f=5；最后必有d=7，h=1。
解：当abcd=8497，efgh=6501时，它们的和值最大，为8497＋6501=14998。
同理可知，它们的和值最小是3498＋1502=5000。
所以最大值与最小值的差为14998－5000=9998。
说明：把这道题写成竖式的形式便于解答。
例8：将分别写有数码1、2、3、4、5、6、7、8、9的九张正方形卡片排成一排，发现恰好是一个能被11整除的最大的九位数。请你写出这九张卡片的排列顺序，并简述推理过程。
分析与解答：
分析：本题应用整体考虑局部调整的方法。
解：我们知道，用1、2、3、4、5、6、7、8、9排成的最大九位数是987654321，但这个数不是11的倍数，所以应适当调整，寻求能被11整除的最大的由这九个数码组成的九位数。
设奇数位数字之和为x，偶数位数字之和为y，则x＋y=1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=45。
由被11整除的判别法知x－y=0，11，22，33，44。
但x＋y与x－y的奇偶性相同，而x＋y=45是奇数，所以x－y也只能是奇数值11或33。于是有：
（Ⅰ） x＋y=45 （Ⅱ） x＋y=45
x－y=11 x－y=33
由（Ⅰ）解得x=28，y=17；由（Ⅱ）解得x=39，y=6，但此时所排九位数的偶位数字和最小为1＋2＋3＋4=10＞6，所以（Ⅱ）的解不合题意，应该排除。由此只能取x=28，y=17。
987654321的奇数位数字和为25，偶数位数字和为20，所以必须调整数字，使奇数位的数字之和增3，偶数位数字之和减3才行。为此调整最后四位数码，排成987652413即为所求。